Sjednocení i průnik jsou komutativní a asociativní. Distribuční a absorpční zákony umožňují přepsat tentýž jev více způsoby.

De Morganovy zákony vysvětlují, jak se při doplňku zamění sjednocení za průnik.

V konečném prostoru stejně pravděpodobných výsledků je pravděpodobnost poměr příznivých a všech výsledků. Mimo tento předpoklad samotné počítání možností nestačí.

Axiomaticky je pravděpodobnost nezáporná, jistý jev má míru jedna a míry spočetně mnoha disjunktních jevů se sčítají.

Podmínka B zúží uvažovaný prostor na situace, ve kterých B nastalo. Pro kladné P(B) znovu normalizujeme pravděpodobnost průniku.

Nezávislost znamená, že tato informace pravděpodobnost A nemění. Párová nezávislost více jevů ještě obecně nezaručuje jejich společnou nezávislost.

Pravděpodobnost příčiny po pozorování není totéž co pravděpodobnost pozorování při známé příčině. Bayesova věta mezi nimi převádí pomocí prioru a evidence.

Důkaz dostaneme dvojím rozepsáním stejného průniku A∩B.

Náhodná veličina přiřazuje výsledkům experimentu čísla. Distribuční funkce udává pravděpodobnost hodnot nejvýše x; je neklesající, zprava spojitá a má krajní limity 0 a 1.

Pokud existuje hustota, pravděpodobnost intervalu získáme integrací. Hodnota hustoty v bodě sama není pravděpodobností tohoto bodu.

Střední hodnota shrnuje polohu rozdělení, rozptyl průměrnou čtvercovou odchylku. Medián dělí pravděpodobnost na dvě poloviny a nemusí být jednoznačný.

U diskrétní veličiny nahrazujeme integrály součty. Smíšené rozdělení může mít současně bodové hmoty i spojitou část.

Společné rozdělení nese vztahy více veličin. Podmíněním jednu informaci fixujeme; marginalizací ji naopak odstraníme součtem nebo integrálem.

Zákon iterované střední hodnoty umožňuje nejprve průměrovat při známé podmínce a pak přes její rozdělení.

Původní didaktický příklad používá P(C)=0,014, P(+|C)=0,75 a P(+)=0,11. Po dosazení dostaneme přibližně 9,55 %.

Jde o čísla z historického výukového příkladu, nikoli aktuální klinické údaje nebo doporučení pro konkrétního pacienta.

Model potřebuje prior πᵢ a podmíněnou hustotu nebo hmotnostní funkci p(x|ωᵢ). Jejich směs tvoří rozdělení pozorování.

Nejprve z dat získáme posterior. Teprve další krok určí nejlepší akci podle ztrátové funkce.

Pokud je pozorování pro všechny třídy stejně pravděpodobné, nezískali jsme rozlišující informaci a rozhodují priory.

Pokud jsou naopak priory stejné, pořadí tříd určí jejich věrohodnosti. To není důvod používat stejné priory v každé reálné úloze.

Při stejné ceně všech omylů vybereme nejpravděpodobnější třídu po pozorování. Společnou evidenci p(x) lze při porovnání vynechat.

Logaritmy umožní počítat skóre bez násobení mnoha malých čísel. Remízu je třeba řešit předem určeným pravidlem.

Správná volba stojí 0 a omyl 1. Riziko volby třídy i je proto jedna minus její posterior.

Za tohoto konkrétního modelu ztrát je minimalizace rizika totéž co minimalizace pravděpodobnosti chyby. Obecná nákladová matice může vést k jiné volbě.

Porovnáme rizika obou voleb. Jestliže jsou rozdíly cen omylů kladné, lze podmínku vyjádřit prahem poměru věrohodností.

Na pravé straně působí jak apriorní četnosti, tak cena jednotlivých chyb.

Podmíněnou chybu je třeba zprůměrovat přes všechny možné vstupy. Pro rozhodnutí s nulovou–jednotkovou ztrátou se správná klasifikace získá integrací nad oblastmi správných tříd.

Bayesova chyba je dolní mez pro daná skutečná rozdělení a zvolenou informaci. Odhadnutý klasifikátor této meze nemusí dosáhnout.

Jestliže je podmíněná chyba každého přijatého případu nejvýše cᵣ, platí pro chyby ze všech případů mez cᵣ·A.

Připočteme-li cenu zamítnutých případů, celkové riziko nepřekročí cᵣ. Jde o tvrzení pro správný posterior a deklarovanou ztrátu, ne automatickou garanci neověřeného modelu.

Prior může vycházet z cílové populace, dřívější klasifikace nebo kontextu. Vyvážený trénovací soubor nemusí mít stejnou četnost tříd jako nasazení.

Rovnoměrný prior je volba modelu, nikoli důsledek neexistence informace. Změnu prioru je třeba odlišovat od změny podmíněných rozdělení.

Pro diskrétní data nahrazujeme integrály součty. U podmíněně nezávislých binárních příznaků dostaneme součin Bernoulliho pravděpodobností.

Logaritmus poměru věrohodností je pak lineární v binárních souřadnicích. Nezávislost musí platit při známé třídě.

Pokud má příznak stejnou pravděpodobnost jedničky v obou třídách, jeho váha je nulová. Větší pravděpodobnost jedničky v první třídě dává kladný příspěvek pro první třídu.

Konstantní člen obsahuje i prior. Hlasování tedy není pouhé počítání jedniček bez ohledu na jejich význam.

Předpokládejme četnost 1 %, citlivost 90 % a falešně pozitivní míru 5 %. Pak P(událost|+) = 0,009 / (0,009 + 0,0495) ≈ 15,4 %. Jde o syntetický pravděpodobnostní příklad, nikoli údaj o skutečném testu.

Záměna P(ω|x) za p(x|ω) vede k ignorování apriorní četnosti. Posteriorní pravděpodobnosti navíc nemusí být dobře kalibrované, pokud je špatně odhadnut model.

Kdy je MAP pravidlo současně pravidlem minimálního rizika?

P(ω|x) je pravděpodobnost třídy po pozorování x. Hustota p(x|ω) popisuje možné hodnoty příznaků v dané třídě. Nejde o zaměnitelné veličiny; u spojitých příznaků může hustota přesáhnout jedna.

P(ω|x) = p(x|ω)P(ω) / p(x). V jmenovateli je normalizace přes všechny uvažované třídy. Pro pouhé porovnání tříd lze společný kladný jmenovatel vynechat, pro číselné posteriorní pravděpodobnosti nikoli.

Podmíněné riziko akce a je R(a|x) = Σω λ(a,ω)P(ω|x). Volíme akci s nejmenším rizikem. Maximum posteriorní pravděpodobnosti je zvláštní případ pro nulovou ztrátu správného rozhodnutí a stejnou cenu všech chyb.

Vyšší apriorní četnost nebo vyšší cena přehlédnutí třídy mění rozhodnutí i při stejné věrohodnosti. Správný práh tedy závisí na zadání, nikoli pouze na tvaru dat.

Autor původních podkladů: Michal Haindl, FIT ČVUT / ÚTIA AV ČR, 2023–2024. Český tematický přepis, vysázení a didaktické doplňky: GRAFIT, 2026.

Tato verze slučuje postupná odhalení a vysvětluje témata vlastními větami. Není doslovnou reprodukcí každé původní tabulky ani náhradou aktuálních organizačních pokynů. Zdrojové PDF zůstává beze změny; žádný původní snímek zde není vložen jako obrázek.