Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Programování grafických aplikací
pokročilé operace s obrazem
Radek Richtr
Institute of Information Theory and Automation
Academy of Sciences of the Czech Republic
Prague, Czech Republic
August 14, 2026
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 1 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Outline I
1 Příznaky
Definice
Local binary patterns
Haralickovy příznaky
2 Fourierova transformace
Idea a princip
3 Fourierova transformace 1D a 2D
1D
2D
Použití
4 Wienerův filtr v FT
Wienerův filtr v FT
5 Doplnění: od příznaků k frekvenčnímu popisu
Texturové příznaky
Fourierova transformace bez zkratek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Doporučené zdroje
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 2 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Cíle přednášky
Po absolvování přednášky by měl student umět:
• vysvětlit roli příznaku a uvést předpoklady LBP a matice
souvýskytu;
• interpretovat amplitudu a fázi diskrétní Fourierovy
transformace;
• propojit prostorovou konvoluci s násobením ve frekvenční
oblasti;
• popsat, co Wienerova dekonvoluce předpokládá a proč může
selhat.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 3 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Intro
• Teoretická přednáška
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 4 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Intro
• Teoretická přednáška
• Přehled algoritmických podkladů
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 5 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Intro
• Teoretická přednáška
• Přehled algoritmických podkladů
• ... a matematických podkladů pro grafické algoritmy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 6 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Intro
• Teoretická přednáška
• Přehled algoritmických podkladů
• ... a matematických podkladů pro grafické algoritmy
• matematika je základ, bez kterého to nejde (alespoň její
intuitivní pochopení)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 7 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Matematickofyzikální minimum
• Fourierova transformace
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 8 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Matematickofyzikální minimum
• Fourierova transformace
• Frekvence v obrazu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 9 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Matematickofyzikální minimum
• Fourierova transformace
• Frekvence v obrazu
• Frekvence a fáze
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 10 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Matematickofyzikální minimum
• Fourierova transformace
• Frekvence v obrazu
• Frekvence a fáze
• Počítání příznaků, konvoluce
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 11 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Příznaky (features)
• Popisují nějakou vlastnost dat (obrazu)
• Často matematický význam (střední hodnoty, odchylka, barva,
atd.)
• Ulehčují práci (několik příznaků místo mnoha dat)
• Obvykle charakterizují nějakou skupinu dat
• Nejjednodušší příznaky?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 12 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Příznaky (features)
• Popisují nějakou vlastnost dat (obrazu)
• Často matematický význam (střední hodnoty, odchylka, barva,
atd.)
• Ulehčují práci (několik příznaků místo mnoha dat)
• Obvykle charakterizují nějakou skupinu dat
• Nejjednodušší příznaky?
- samotné barevné kanály (červenost, zelenost, intenzita, atd.)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 13 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Příznaky (features)
• Popisují nějakou vlastnost dat (obrazu)
• Často matematický význam (střední hodnoty, odchylka, barva,
atd.)
• Ulehčují práci (několik příznaků místo mnoha dat)
• Obvykle charakterizují nějakou skupinu dat
• Nejjednodušší příznaky?
- samotné barevné kanály (červenost, zelenost, intenzita, atd.)
- ale i např. výsledky detektoru hran
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 14 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Příznaky
• Segmentace
- lidé vs. pozadí – texturální příznaky, Haralick, LBP
• Detekce
- např. rakovina v mamogramech - 3DCAR
• Reprezentace
- např. pro spojování obrazů v panoramatech - SIFT, SURF,
atd.
• A mnoho dalšího!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 15 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Příznaky - invarianty
• Invariantní na rotace
• Invariantní na afinní transformace
• Invariantí na změnu škálování
• Invariantní na změnu intenzity
• atd.
Za každý invariant se platí.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 16 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
LBP
P−1X
LBPP,R = s(gp −gc)2p (1)
p=0
(
1, pro x >= 0
s(x) = (2)
0, pro x < 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 17 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Haralick
14 příznaků reprezentujících různé vlastnosti textur (entropie,
směrová odchylka, korelace, momenty, ...) pro malou šedotónovou
matici GLCM (plovoucí okno) dané velikosti
!
Ng−1X XNg XNg
f2 = n2 9(i, j) (3)
n=0 i=1 j=1
kde:
|i −j| = n,
p(i, j) je intenzita pixelu se součadnicemi i a j,
px(i) je marginální pravděpodobnost (součet řádků),
py(i) je marginální pravděpodobnost(součet sloupců),
Ng je počet úrovní šedi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 18 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
FT - úvod a idea
• Slouží k analýze signálů (ve 2D obraz).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 19 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
FT - úvod a idea
• Slouží k analýze signálů (ve 2D obraz).
• Zjišťuje paramentry harmonických frekvencí bází ze kterých se
obraz/signál skládá.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 20 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
FT - úvod a idea
• Slouží k analýze signálů (ve 2D obraz).
• Zjišťuje paramentry harmonických frekvencí bází ze kterých se
obraz/signál skládá.
• A co to je?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 21 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Náhodnost?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 22 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Zkusíme to vysvětlit trochu jinak...
Představme si kolečko s průměrem r0, které má vpravo od středu
na okraji puntík (bod), má počáteční úhel α0 a otáčí se rychlostí
s0. Tento puntík kreslí obrázek kružnice.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 23 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Zkusíme to vysvětlut trochu jinak...
Představme si, že na puntíku tohoto kolečka je další kolečko s
průměrem r1 natočené pod úhlem α1, které se otáčí rychlosti s1.
Tato soustava dvou koleček kreslí už mnohem zajímavější tvar.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 24 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Zkusíme to vysvětlut trochu jinak...
Představme si, že na puntíku posledního kolečka můžeme mít další
kolečko, na něm další a tak dál. Koleček může být až nespočetně
mnoho.
Co všechno lze takovýmito soustavami koleček nakreslit? Čtverec?
Trojúhelník?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 25 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Takovému systému koleček říkáme Ptolemájský systém
- Ptolemy’s system of epicycles and deferents.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 26 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Takovému systému koleček říkáme Ptolemájský systém
- Ptolemy’s system of epicycles and deferents.
• Nakreslit tím lze cokoli
- https://www.youtube.com/watch?v=QVuU2YCwHjw
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 27 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Takovému systému koleček říkáme Ptolemájský systém
- Ptolemy’s system of epicycles and deferents.
• Nakreslit tím lze cokoli
- https://www.youtube.com/watch?v=QVuU2YCwHjw
- https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k&ab_
channel=3Blue1Brown
• Pozorování:
- dvě kolečka se stejnou rychlostí lze spojit do jednoho s jiným
poloměrem a úhlem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 28 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Máme tedy křivku, spojitou funkci f : R −→R2
- pro každý parametr t vrátí pozici (x, y) - bod křivky
- pro křivku hledáme soustavu koleček, která ji zvládne
nakreslit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 29 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Máme tedy křivku, spojitou funkci f : R −→R2
- pro každý parametr t vrátí pozici (x, y) - bod křivky
- pro křivku hledáme soustavu koleček, která ji zvládne
nakreslit
• Soustavu lze reprezentovat jako funci g, která pro každou
rychlost s vrátí dvojici (r, α)
- poloměr a úhel kolečka, rychlost s v dané soustavě
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 30 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Máme tedy křivku, spojitou funkci f : R −→R2
- pro každý parametr t vrátí pozici (x, y) - bod křivky
- pro křivku hledáme soustavu koleček, která ji zvládne
nakreslit
• Soustavu lze reprezentovat jako funci g, která pro každou
rychlost s vrátí dvojici (r, α)
- poloměr a úhel kolečka, rychlost s v dané soustavě
• Jednoduché?
- Operace, která hledá soustavu koleček ke křivce funguje
stejně jako Fourierova transformace!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 31 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Hledá tedy k jedné funkci jinou funkci.
- na jedné straně máme (x, y) na druhé (r, α)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 32 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Hledá tedy k jedné funkci jinou funkci.
- na jedné straně máme (x, y) na druhé (r, α)
• místo 2D souřadnic na levé straně použijeme komplexní čísla
- (x, y) zapisujeme jako (x + yi)
- křivka je tedy f : ℜ−→C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 33 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Hledá tedy k jedné funkci jinou funkci.
- na jedné straně máme (x, y) na druhé (r, α)
• místo 2D souřadnic na levé straně použijeme komplexní čísla
- (x, y) zapisujeme jako (x + yi)
- křivka je tedy f : ℜ−→C
• Kolečka na druhé straně (r, α) by taky potřebovaly komplexní
čísla, ať je to jednotné
- tímto číslem nechť je počáteční poloha puntíku v komplexní
rovině (vzhledem ke středu kolečka)
- tedy místo (r, α) máme r ∗(cos(α) + sin(α) ∗i) = (a + b ∗i)
- nyní je i soustava koleček ve tvaru g : C −→C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 34 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Hledá tedy k jedné funkci jinou funkci.
- na jedné straně máme (x, y) na druhé (r, α)
• místo 2D souřadnic na levé straně použijeme komplexní čísla
- (x, y) zapisujeme jako (x + yi)
- křivka je tedy f : ℜ−→C
• Kolečka na druhé straně (r, α) by taky potřebovaly komplexní
čísla, ať je to jednotné
- tímto číslem nechť je počáteční poloha puntíku v komplexní
rovině (vzhledem ke středu kolečka)
- tedy místo (r, α) máme r ∗(cos(α) + sin(α) ∗i) = (a + b ∗i)
- nyní je i soustava koleček ve tvaru g : C −→C
• A jak s těmi úhly?
- násobením přece! otočení o 30 je násobení
(cos(30) + sin(30)i)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 35 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• K čemu že byly ty komplexní čísla?
- soustava je nyní jednoznačná (otočení o 40◦= otočení o
400◦)
- k převodu tedy nyní lze najít i inverzi!
- shoduje se systém signálu (křivka) i obrazu (kolečka)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 36 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• K čemu že byly ty komplexní čísla?
- soustava je nyní jednoznačná (otočení o 40◦= otočení o
400◦)
- k převodu tedy nyní lze najít i inverzi!
- shoduje se systém signálu (křivka) i obrazu (kolečka)
• Znovu, jak že to funguje?
- transformace hledá ke křivce kolečka které ji kreslí
- parametr křivky je čas t
- chceme, aby při parametru t byl puntík (křivka) v bodu f(t)
- pro t = 0 jsou kolečka v počáteční poloze
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 37 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Vlastnosti naší transformace?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 38 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Vlastnosti naší transformace?
• kolečka jde určitě prohazovat
- ejhle, komutativnost!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 39 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Vlastnosti naší transformace?
• kolečka jde určitě prohazovat
- ejhle, komutativnost!
• křivka jde zvětšovat k krát!
- (k × f)(t) = k × (x + yi)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 40 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Vlastnosti naší transformace?
• kolečka jde určitě prohazovat
- ejhle, komutativnost!
• křivka jde zvětšovat k krát!
- (k × f)(t) = k × (x + yi)
• křivky jsou sčítat! (f1 + f2)(t) + (x1 + y1t) + (x2 + y2i))
- jak vypadají kolečka? prostě soustavy napojíme za sebe!
- A víme, že když se kolečka točí stejně rychle, jde je sloučit...
tedyFT(f1) + g1, FT(f2) = g2 =⇒FT(f1 + f2) = g1 + g2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 41 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A jak že se to počítá? (začneme jednodušším inverzem, tedy
křivka =⇒kolečka)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 42 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A jak že se to počítá? (začneme jednodušším inverzem, tedy
křivka =⇒kolečka)
- máme g(s) a zajímá nás pohyb puntíku, tedy poloha při
parametru t neboli f(t)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 43 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A jak že se to počítá? (začneme jednodušším inverzem, tedy
křivka =⇒kolečka)
- máme g(s) a zajímá nás pohyb puntíku, tedy poloha při
parametru t neboli f(t)
- rychlost s, poloměr a počáteční úhel představuje kompexní
číslo g(s) = a + bi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 44 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A jak že se to počítá? (začneme jednodušším inverzem, tedy
křivka =⇒kolečka)
- máme g(s) a zajímá nás pohyb puntíku, tedy poloha při
parametru t neboli f(t)
- rychlost s, poloměr a počáteční úhel představuje kompexní
číslo g(s) = a + bi
- jaká je hodnota křivky pro parametr t? Stačí natočit kolečko
o t × s. Otáčet už umíme!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 45 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A jak že se to počítá? (začneme jednodušším inverzem, tedy
křivka =⇒kolečka)
- máme g(s) a zajímá nás pohyb puntíku, tedy poloha při
parametru t neboli f(t)
- rychlost s, poloměr a počáteční úhel představuje kompexní
číslo g(s) = a + bi
- jaká je hodnota křivky pro parametr t? Stačí natočit kolečko
o t × s. Otáčet už umíme!
f(t) = (cos(t × s × 2π) + sin(t × s × 2π)i) × g(s) (4)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 46 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A jak že se to počítá? (začneme jednodušším inverzem, tedy
křivka =⇒kolečka)
- máme g(s) a zajímá nás pohyb puntíku, tedy poloha při
parametru t neboli f(t)
- rychlost s, poloměr a počáteční úhel představuje kompexní
číslo g(s) = a + bi
- jaká je hodnota křivky pro parametr t? Stačí natočit kolečko
o t × s. Otáčet už umíme!
f(t) = (cos(t × s × 2π) + sin(t × s × 2π)i) × g(s) (4)
- a co když je koleček n? A s různými rychlostmi? Poloměry a
úhly? Sčítáme!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 47 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A jak že se to počítá? (začneme jednodušším inverzem, tedy
křivka =⇒kolečka)
- máme g(s) a zajímá nás pohyb puntíku, tedy poloha při
parametru t neboli f(t)
- rychlost s, poloměr a počáteční úhel představuje kompexní
číslo g(s) = a + bi
- jaká je hodnota křivky pro parametr t? Stačí natočit kolečko
o t × s. Otáčet už umíme!
f(t) = (cos(t × s × 2π) + sin(t × s × 2π)i) × g(s) (4)
- a co když je koleček n? A s různými rychlostmi? Poloměry a
úhly? Sčítáme!
Xn
f(t) = (cos(t × sj × 2π) + sin(t × sj. ×. . 2π)i). . . . .×. .g(sj). . . . . (5). . . . .
j=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 48 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A co když je koleček n? A s různými rychlostmi? Poloměry a
úhly? Sčítáme!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 49 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A co když je koleček n? A s různými rychlostmi? Poloměry a
úhly? Sčítáme!
Xn
f(t) = (cos(t × sj × 2π) + sin(t × sj × 2π)i) × g(sj) (6)
j=1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 50 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A co když je koleček n? A s různými rychlostmi? Poloměry a
úhly? Sčítáme!
Xn
f(t) = (cos(t × sj × 2π) + sin(t × sj × 2π)i) × g(sj) (6)
j=1
• A nespočetně koleček?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 51 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A co když je koleček n? A s různými rychlostmi? Poloměry a
úhly? Sčítáme!
Xn
f(t) = (cos(t × sj × 2π) + sin(t × sj × 2π)i) × g(sj) (6)
j=1
• A nespočetně koleček?
Z
f(t) = (cos(t × s × 2π) + sin(t × s × 2π)i) × g(s)ds (7)
s∈R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 52 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A co když je koleček n? A s různými rychlostmi? Poloměry a
úhly? Sčítáme!
Xn
f(t) = (cos(t × sj × 2π) + sin(t × sj × 2π)i) × g(sj) (6)
j=1
• A nespočetně koleček?
Z
f(t) = (cos(t × s × 2π) + sin(t × s × 2π)i) × g(s)ds (7)
s∈R
- ta dá!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 53 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A co samotná DT?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 54 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A co samotná DT?
- máme křivku f a hledáme k ní soustavu koleček s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 55 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A co samotná DT?
- máme křivku f a hledáme k ní soustavu koleček s
- zajímá nás komplexní čísla u koleček a rychlosti
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 56 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A co samotná DT?
- máme křivku f a hledáme k ní soustavu koleček s
- zajímá nás komplexní čísla u koleček a rychlosti
Z
g(s) = (cos(−t×s×2π)+sin(−t×s×2π)i)×f(t)ds (8)
s∈R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 57 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A co samotná DT?
- máme křivku f a hledáme k ní soustavu koleček s
- zajímá nás komplexní čísla u koleček a rychlosti
Z
g(s) = (cos(−t×s×2π)+sin(−t×s×2π)i)×f(t)ds (8)
s∈R
• A kde je takové to e−ts2πi ?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 58 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A co samotná DT?
- máme křivku f a hledáme k ní soustavu koleček s
- zajímá nás komplexní čísla u koleček a rychlosti
Z
g(s) = (cos(−t×s×2π)+sin(−t×s×2π)i)×f(t)ds (8)
s∈R
• A kde je takové to e−ts2πi ?
- Taylorův polynom a rozvoj...
x0 x1 x2 x3
ex = + + + + ... (9)
0! 1! 2! 3!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 59 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A co samotná DT?
- máme křivku f a hledáme k ní soustavu koleček s
- zajímá nás komplexní čísla u koleček a rychlosti
Z
g(s) = (cos(−t×s×2π)+sin(−t×s×2π)i)×f(t)ds (8)
s∈R
• A kde je takové to e−ts2πi ?
- Taylorův polynom a rozvoj...
x0 x1 x2 x3
ex = + + + + ... (9)
0! 1! 2! 3!
- Eulerův vzorec
eix = cos(x + i sin(x)) (10)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 60 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A co samotná DT?
- máme křivku f a hledáme k ní soustavu koleček s
- zajímá nás komplexní čísla u koleček a rychlosti
Z
g(s) = (cos(−t×s×2π)+sin(−t×s×2π)i)×f(t)ds (8)
s∈R
• A kde je takové to e−ts2πi ?
- Taylorův polynom a rozvoj...
x0 x1 x2 x3
ex = + + + + ... (9)
0! 1! 2! 3!
- Eulerův vzorec
eix = cos(x + i sin(x)) (10)
, a tedy... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 61 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
Z
g(s) = (cos(−t × s × 2π) + sin(−t × s × 2π)i) × f(t)dt (11)
t∈R
=
Z
e−ts2πi × f(t)dt (12)
t∈R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 62 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
Z
g(s) = (cos(−t × s × 2π) + sin(−t × s × 2π)i) × f(t)dt (11)
t∈R
=
Z
e−ts2πi × f(t)dt (12)
t∈R
• Proč?
- pro zkrácení zápisu...
- aby to líp (chytřeji) vypadalo...
- pro zmatení nepřítele, ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 63 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
Co jsme tedy zjistili?
• Fourierova transformace nějak dovoluje rozložit křivky, se
kterými se muže těžko operovat na stavební prvky
• Kolečka, která křivku kreslí jsou lehce upravovatelné,
jednoduše se s nimi zachází
• FT se kouká za obraz samotný, poskytuje jiný náhled
A nyní od koleček ke zpracování signálu a obrazu...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 64 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Obvykle ve 1D zpracování signálu zapisujeme:
- F(k) je obraz
- f(ω) je původní signál
Z∞
F(k) = f(ω)e−2πikωdω (13)
−∞
Z∞
f(ω) = F(k)e2πiωkdk (14)
−∞
• Bázové funkce jsou siny a cosiny
• Někdy se Fourierův obraz zapisuje jako ˆf a frekvence jako
reálné číslo ξ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 65 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Bázová funkce
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 66 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Začíná to být zajímavé...
• Nekonečný signál ⇐⇒dva δ pulzy!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 67 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• a netriviální...
• Konečný signál ⇐⇒nekonečná řada sinů (Re)
- proč nekonečný? A skutečně nekonečný?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 68 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Diracův impuls
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 69 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Skládaní z harmonických obrazů
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 70 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Co děje s obrazem
- při změně délky signálu?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 71 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Co děje s obrazem
- při změně frekvence signálu?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 72 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A ve 2D:
- F(u,v) je obraz, komplexní spektrum, udává váhy
jednotlivých harmonických složek
- f(x,y) je původní signál, obrázek
ZZ
F(u, v) = f(x, y)e−2πi(ux+vy)dxdy (15)
R2
ZZ
f(x, y) = F(u, v)e2πi(ux+vy)dudv (16)
R2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 73 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Bázová funkce je ’vlnitý plech’ sin a cos ve 2D
• f(x, y) je tedy lineární kombinací jednoduchých harmonických
složek e2πi(xu+yv)
- cos je reálná a sin imaginární složka
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 74 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Bázová funkce je ’vlnitý plech’ sin a cos ve 2D
• f(x, y) je tedy lineární kombinací jednoduchých harmonických
složek e2πi(xu+yv)
- cos je reálná a sin imaginární složka
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 75 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Báze
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 76 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Báze
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 77 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace - spektrum
• Fourierův obraz F(u, v) je obecně funkcí komplexní proměnné.
• Komplexní spektrum
F(u, v) = R(u, v) + iI(u, v) (17)
• Amplitudové spektrum
p
|F(u, v)| = R2(u, v) + I2(u, v) (18)
• Fázové spektrum
I(u, v)
ϕ(u, v) = tan−1 (19)
R(u, v)
• Výkonové spektrum
P(u, c) = |F(u, v|2 (20)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 78 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Spektrum (obraz) je názorné zobrazovat centrovaně
- optický střed je ve středu obrázku
- nízké frekvence se přesunou do středu po kvadrantech
- obvykle implementováno (fftshift v matlabu, ...)
- vždy předpokládáme centralizované zobrazení
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 79 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Spektrum (obraz) je názorné zobrazovat centrovaně
- optický střed je ve středu obrázku
- nízké frekvence se přesunou do středu po kvadrantech
- obvykle implementováno (fftshift v matlabu, ...)
- vždy předpokládáme centralizované zobrazení
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 80 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Základní transformace ve 2D
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 81 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Základní transformace ve 2D - všimnete si prohození délky a
šířky
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 82 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• Zvyrázenní složitějšího obrazu amplituda vs. log(amplituda +
1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 83 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• FT něterých písmen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 84 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
• A co ty komplexní čísla? To jsou přeci parametry!
- Amplituda
- Fáze
- a dohromady je to výkonové spektrum (power spectrum)
- co nese víc informace? Amplituda, nebo fáze?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 85 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 86 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 87 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Fourierova transformace
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 88 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Filtrace ve frekvenční oblasti
F(f ∗g) = F(f)F(g) (21)
- konvoluce přechází v prostý násobek per pixel!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 89 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Filtrace ve frekvenční oblasti
• F(f ⋆g) = F(f)F(g)
high pass g. high pass band pass
low pass g. low pass directional
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 90 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Použití
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 91 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Použití
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 92 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Použití
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 93 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Použití
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 94 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Reálný obraz
• Mnoho jevů degraduje obraz systematicky
• Naměřený (pozorovaný) signál y(t)
y(t) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 95 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Reálný obraz
• Mnoho jevů degraduje obraz systematicky
• Naměřený (pozorovaný) signál y(t)
• Naměřený (pozorovaný) signál je původní signál x(t), který
byl nějak pokažen.
y(t) = x(t)+?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 96 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Reálný obraz
• Mnoho jevů degraduje obraz systematicky
• Naměřený (pozorovaný) signál y(t)
• Naměřený (pozorovaný) signál je původní signál x(t), který
byl nějak pokažen.
• Obraz byl rozmazán - konvolucí!
y(t) = x(t) + h(t)?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 97 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Reálný obraz
• Mnoho jevů degraduje obraz systematicky
• Naměřený (pozorovaný) signál y(t)
• Naměřený (pozorovaný) signál je původní signál x(t), který
byl nějak pokažen.
• Obraz byl rozmazán - konvolucí!
y(t) = x(t) + h(t)?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 98 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Reálný obraz
• Mnoho jevů degraduje obraz systematicky
• Naměřený (pozorovaný) signál y(t)
• Naměřený (pozorovaný) signál je původní signál x(t), který
byl nějak pokažen.
• Obraz byl rozmazán - konvolucí!
y(t) = (x ∗h)(t)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 99 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Reálný obraz
• Mnoho jevů degraduje obraz systematicky
• Naměřený (pozorovaný) signál y(t)
• Naměřený (pozorovaný) signál je původní signál x(t), který
byl nějak pokažen.
• Obraz byl rozmazán - konvolucí!
y(t) = (x ∗h)(t)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 100 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Reálný obraz
• Mnoho jevů degraduje obraz systematicky
• Naměřený (pozorovaný) signál y(t)
• Naměřený (pozorovaný) signál je původní signál x(t), který
byl nějak pokažen.
• Obraz byl rozmazán - konvolucí!
y(t) = (x ∗h)(t) + n(t)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 101 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Reálný obraz
• Mnoho jevů degraduje obraz systematicky
• Naměřený (pozorovaný) signál y(t)
• Naměřený (pozorovaný) signál je původní signál x(t), který
byl nějak pokažen.
• Obraz byl rozmazán - konvolucí!
y(t) = (x ∗h)(t) + n(t)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 102 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Wienerův filtr
• Mnoho jevů degraduje obraz systematicky
• Pohyb (motion blur)
- jeden bod se rozmázne do křivky (zjednodušeně usečky)
- jak vypadá Fourierův obraz takového rozmáznutí?
- ale to už přece známe!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 103 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Použití
• Out-of-focus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 104 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Použití
• Atmospheric turbulence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 105 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Jak to funguje?
• Tyto distorze obrazu jsou jen obdobou konvoluce, ty se dá
lehce řešit ve frekvenční oblasti násobením...
• Známý jev lze odstranit pokud známe jeho parametry
- tomu říkáme impulsní odezva (jak by se zobrazil jeden bod)
• Wienerův filtr y(t) = (h ∗x)(t) + n(t)
- * je konvoluce
- x(t) je původní signál
- h(t) je neznámé impulstní odezva (PSN)
- n(t) je aditivní nezávislý šum
- y(t) je pozorovaný signál (pokažený obrázek)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 106 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Jak to funguje?
• Chceme najít g(t) aby jsem mohli odhadnout x(t) jako
x(t) = (g ∗y)(t) (minimalizací střední chyby)
• Wienerova dekonvoluce
H∗(f)S(f)
G(f) = (22)
∥H(f)∥2S(f) + N(f)
G(f) a H(f) jsou fourierovy obrazy funkcí y a h s frekvencí f,
S(f) je střední hodnota power spektra x(t), N(f) pak šumu n(t),
hvězdičkou je označena koplexní konjugace
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 107 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Použití
• V podstatě odstranujeme tyto typy funkcí z G(f) ovšem s
neznámými parametry...
motion blur out-of-focus atm. turbulence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 108 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Použití
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 109 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Použití
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 110 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Použití
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 111 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Použití
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 112 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Použití
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 113 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Příznak není klasifikátor
Příznak převádí okolí nebo celý obraz na vektor x ∈Rd.
• Dobrá reprezentace zvýrazní relevantní rozdíly a potlačí
změny, které nechceme rozlišovat.
• Invariance vůči rotaci, měřítku či jasu není automaticky
výhodná: může odstranit informaci potřebnou pro úlohu.
• Normalizace a definice okolí musí být stejné při učení i použití.
• Až klasifikátor nebo vzdálenost rozhoduje, co v prostoru
příznaků považujeme za podobné.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 114 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
LBP krok za krokem
Pro středový pixel gc a P sousedů gp na kružnici o poloměru R:
(
P−1X 1, z ≥0,
LBPP,R = s(gp −gc)2p, s(z) =
0, z < 0. p=0
• Kód popisuje lokální uspořádání intenzit, histogram pak
rozdělení kódů v oblasti.
• Monotónní změna šedé škály zachová porovnání se středem.
• Rotace mění pořadí bitů; rotační invariance proto vyžaduje
další mapování kódů.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 115 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Haralickovy příznaky: co přesně měříme
Matice souvýskytu P∆(i, j) počítá, jak často se hodnoty i a j
objeví ve dvojici pixelů oddělených posunem ∆.
• Kontrast: zvýrazňuje dvojice s velkým rozdílem intenzit.
• Homogenita: roste, když se četnosti soustředí poblíž
diagonály.
• Energie: roste pro několik dominantních dvojic.
• Výsledek závisí na kvantování šedi, směru a vzdálenosti ∆;
tyto parametry jsou součást metody.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 116 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
2D DFT a její význam
Pro obraz I[m, n] rozměru M × N:
M−1X N−1X
F[u, v] = I[m, n]e−2πi(um/M+vn/N).
m=0 n=0
• |F[u, v]| popisuje zastoupení frekvencí, fáze arg F[u, v] jejich
prostorové uspořádání.
• Nízké frekvence popisují pomalé změny, vysoké frekvence
jemné struktury a ostré přechody.
• fftshift pouze přesune nulovou frekvenci do středu
zobrazení; data nefiltruje.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 117 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Konvoluční věta propojuje P03 a P04
F{I ∗h} = F{I} F{h}.
• Konvoluce v prostorové oblasti odpovídá bodovému násobení
ve frekvenční oblasti.
• DFT předpokládá periodické pokračování obrazu; bez
doplnění nul vzniká kruhová konvoluce.
• Pro malé jádro je rychlejší přímá nebo separabilní konvoluce;
FFT se vyplatí u velkých jader.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 118 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Wienerova dekonvoluce a její omezení
Pro model Y = HX + N se Wienerův odhad zapisuje
H∗(u, v)
X(u,b v) = (u, v). |H(u, v)|2 + SN(u, v)/SX(u, v)Y
• H je přenosová funkce rozmazání, SN a SX výkonová spektra
šumu a signálu.
• Člen v jmenovateli brání nekonečnému zesílení tam, kde je H
téměř nulové.
• Kvalita závisí na znalosti rozmazání a odhadu poměru signálu
k šumu; chybný model vytváří artefakty.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 119 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Shrnutí a kontrolní otázky
• Příznak je reprezentace; jeho invariance a parametry musí
odpovídat úloze.
• Amplituda udává zastoupení frekvencí, fáze nese zásadní
informaci o uspořádání obrazu.
• Frekvenční filtrace je ekvivalentní prostorové konvoluci jen při
správném doplnění a okrajových podmínkách.
1 Na kterých parametrech závisí Haralickovy příznaky?
2 Co přesně mění fftshift?
3 Proč nelze při dekonvoluci jednoduše dělit nulovými
hodnotami H(u, v)?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 120 ↗
Outline. .. .. .. . Příznaky. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. . Fourierova. .. .. .. .. .. .. .. transformace.. .. .. .. .. .. .. .. .. 1D.. .. ..a..2D.. .. .. .. .. .. .. . Wienerův. .. .. .. .. .. .. ..filtr.. .. v.. ..FT.. .. .. .. .. .. .. . Doplnění:. .. .. .. .. .. .. .od př
Doporučené zdroje I
[1] Rafael C. Gonzalez and Richard E. Woods.
Digital Image Processing.
Pearson, 4 edition, 2018.
Základní učebnice zpracování obrazu, konvoluce a frekvenční filtrace.
[2] Robert M. Haralick, K. Shanmugam, and Its’hak Dinstein.
Textural features for image classification.
IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, SMC-3(6):610–621, 1973.
Dostupné z: https://doi.org/10.1109/TSMC.1973.4309314.
[3] Timo Ojala, Matti Pietikäinen, and Topi Mäenpää.
Multiresolution gray-scale and rotation invariant texture classification with local
binary patterns.
IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 24(7):971–987,
2002.
Dostupné z: https://doi.org/10.1109/TPAMI.2002.1017623.
[4] Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer.
Discrete-Time Signal Processing.
Prentice Hall, 3 edition, 2010.
Podrobný výklad diskrétních systémů a Fourierovy transformace.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radek Richtr · původní podklad · PDF, strana 121 ↗